Adomian分解法：解析与推导
什么是Adomian分解法？
Adomian分解法（Adomian Decomposition Method，ADM）是一种用于解决非线性微分方程的数值计算方法。由美国数学家乔治·阿多米安（George Adomian）在20世纪70年代初提出。此方法适用于解决不同类型非线性微分方程，尤其擅长解决那些解析式解法不现实或困难的问题。
Adomian分解法的基本原理
Adomian分解法的基本思想是将非线性微分方程分解为已知函数和未知函数之和，不断对未知函数逐项求解，最终得到对原方程的解。具体步骤如下：
步骤一：分解方程
将非线性微分方程表示成一些已知函数的乘积和未知函数之和的形式，如下所示：
【式1】：L[u]=G(x) 转换为 u = ∑ An(x)
步骤二：求解递推关系式
将未知函数分解式子代入原微分方程，然后同阶求和得到递推式，如下所示：
【式2】： An=L[An-1G]
步骤三：递推求解
将递推式带入到An的公式中，求解An，最终得到方程的解。
Adomian分解法的应用
Adomian分解法主要应用于解决非线性微分方程的数值计算问题，尤其是那些难以用解析式求解的问题。此方法以其计算快速、精度高、有弹性等特点，被广泛应用于各个领域。如非线性光学、声学以及非线性积分方程等领域。
总结
Adomian分解法是一种用于解决非线性微分方程的数值计算方法，其基本思想是将非线性微分方程分解为已知函数和未知函数之和，不断对未知函数逐项求解，最终得到对原方程的解。利用Adomian分解法可以方便地求解一些难以用解析式求解的问题，在非线性光学、声学以及非线性积分方程等领域应用广泛。
